Question

15．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一個焦點為F（1，0），其離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線y=x+m與C相交于A，B兩點，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-1$（O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距為2，求出幾何量，即可求橢圓方程；
（Ⅱ）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量知識，即可求得m的值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距為2，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=1，∴a=$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
將直線y=x+m，代入橢圓方程，整理可得3x²+4mx+2m²-2=0，
△=16m²-12（2m²-2）＞0，解得-$\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$
∴x₁+x₂=$-\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）$\frac{{m}^{2}-2}{3}$
∵若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-1$（其中0為坐標(biāo)原點），
∴x₁x₂+y₁y₂=-1
∴$\frac{2{m}^{2}-2}{3}+\frac{{m}^{2}-2}{3}$=-1，
∴m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的坐標(biāo)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．