Question

17．在△ABC中，$3（{{{sin}^2}B+{{sin}^2}C-{{sin}^2}A}）=2\sqrt{3}sinBsinC$，且△ABC的面積為$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，則BC邊上的高的最大值為$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 由正弦定理化簡已知的等式，得到關(guān)于a，b及c的關(guān)系式，然后再利用余弦定理表示出cosA，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，進而利用三角形面積公式可求bc的值，利用余弦定理，基本不等式可求a的最小值，結(jié)合三角形面積公式即可得解BC邊上的高的最大值．

解答 解：∵$3（{{{sin}^2}B+{{sin}^2}C-{{sin}^2}A}）=2\sqrt{3}sinBsinC$，
∴根據(jù)正弦定理化簡已知等式得：3b²+3c²-3a²=2$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}bc}{3}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵△ABC的面積為$\sqrt{6}+\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=bc×$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴解得：bc=6+2$\sqrt{3}$，
又∵由余弦定理可得：a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-2×bc×（\frac{\sqrt{3}}{3}）}$≥$\sqrt{2bc-\frac{2\sqrt{3}}{3}bc}$=2$\sqrt{2}$，（當且僅當b=c等號成立）
∴BC邊上的高h=$\frac{2S}{a}$≤$\frac{2（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}+1$，（當且僅當b=c等號成立）．
∴BC邊上的高的最大值為$\sqrt{3}+1$．
故答案為：$\sqrt{3}+1$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式，基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．