Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+c（x∈R），若函數(shù)f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上是增函數(shù)，則x₂-x₁的取值范圍是[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到x₁，x₂是方程f′（x）=0的解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出即可．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²-x+c（x∈R），
∴f′（x）=3x²+2ax-1，
若函數(shù)f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上是增函數(shù)，
則x₁，x₂是方程f′（x）=0的解，
∴x₁+x₂=-$\frac{2a}{3}$，x₁x₂=-$\frac{1}{3}$，
x₂-x₁=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{{a}^{2}+3}}{3}$≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．