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【題目】如圖，橢圓的左、右頂點分別為A、B，雙曲線以A、B為頂點，焦距為，點P是上在第一象限內的動點，直線AP與橢圓相交于另一點Q，線段AQ的中點為M，記直線AP的斜率為為坐標原點.

(1)求雙曲線的方程；

(2)求點M的縱坐標的取值范圍；

(3)是否存在定直線使得直線BP與直線OM關于直線對稱？若存在，求直線的方程；若不存在,請說明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在直線滿足題意，詳見解析

【解析】

（1）根據題意，得到，即可求得雙曲線的方程；

（2）由在上單調遞增，即可求得點的縱坐標的取值范圍；

（3）求出，可得直線與關于直線對稱，即可求解．

（1）由題意，橢圓的左、右頂點分別為，雙曲線以A、B為頂點，焦距為，可得，所以，

所以雙曲線的方程．

（2）由題意，設，

直線的方程為，

代入橢圓方程，整理，

所以或，所以，

所以在上單調遞增，所以．

（3）由（1）雙曲線的方程，

可得，同理,

所以，即，

設直線，則直線，解得，

所以直線與關于直線對稱．

練習冊系列答案
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【題目】已知函數的值域是，有下列結論：①當時，； ②當時，；③當時，； ④當時，．其中結論正確的所有的序號是( )．

A.①②B.③④C.②③D.②④

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【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，焦點為，圓O的直徑為．

（1）求橢圓C及圓O的標準方程；

（2）設直線l與圓O相切于第一象限內的點P，且直線l與橢圓C交于兩點．記 的面積為，證明：．

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【題目】我國已進入新時代中國特色社會主義時期，人民生活水平不斷提高．某市隨機統計了城區(qū)若干戶市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（記為P元）的情況，并根據統計數據制成如圖頻率分布直方圖．

（1）根據頻率分布直方圖估算P的平均值；

（2）若該市城區(qū)有4戶市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分別增加了42元，50元，52元，60元，從這4戶中隨機抽取2戶，求這2戶P值的和超過100元的概率．

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【題目】某條公共汽車線路收支差額與乘客量的函數關系如下圖所示（收支差額＝車票收入－支出費用），由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩條建議：建議（1）不改變車票價格，減少支出費用；建議（2）不改變支出費用，提高車票價格.下面給出的四個圖形中，實線和虛線分別表示目前和建議后的函數關系，則（ ）

A.①反映建議（2），③反映建議（1）B.①反映建議（1），③反映建議（2）

C.②反映建議（1），④反映建議（2）D.④反映建議（1），②反映建議（2）

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【題目】如圖，已知四棱錐，底面為菱形， 平面，，E，F分別是，的中點.

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.

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【題目】數列的前項和為且滿足，（為常數，）．

（1）求；

（2）若數列是等比數列，求實數的值；

（3）是否存在實數，使得數列滿足：可以從中取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數列？若存在，求出所有滿足條件的值；若不存在，請說明理由．

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【題目】已知函數，為圖象的一個對稱中心，為圖象的一條對稱軸，且在上單調，則符合條件的值之和為________.

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【題目】已知函數，．

（Ⅰ）若在上是增函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）討論函數的極值，并說明理由；

（Ⅲ）若有兩個極值點，，求證：函數有三個零點．

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