Question

6．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{a+{2^x}}}$是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)；
（3）若對(duì)于任意t∈R，不等式f（t²-2t）＜f（-2t²+k）恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算f（0）=0，求出b的值，根據(jù)f（-1）=-f（1），求出a的值，檢驗(yàn)即可；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到t²-2t＞k-2t²，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出k的范圍即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）為R上的減函數(shù)，
所以f（0）=0，b=1．又f（-1）=-f（1），得a=1．
經(jīng)檢驗(yàn)a=1，b=1符合題意．
（2）任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1{-2}^{{x}_{1}}}{1{+2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1{-2}^{{x}_{2}}}{1{+2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{（1{+2}^{{x}_{1}}）（1{+2}^{{x}_{2}}）}$，
因?yàn)閤₁＜x₂，所以${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0$．
又（2^x2+1）（2^x1+1）＞0，故f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）為R上的減函數(shù)．
（3）因?yàn)閠∈R，不等式f（t²-2t）＜f（-2t²+k）恒成立．
由f（x）為減函數(shù)，所以t²-2t＞k-2t²，
即k＜3t²-2t恒成立，
而y=3t²-2t=3${（t-\frac{1}{3}）}^{2}$-$\frac{1}{3}$≥-$\frac{1}{3}$，
所以k＜-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查函數(shù)恒成立問題以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．