Question

19．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直線y=bx+2與圓x²+y²=2相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知定點(diǎn)E（1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，試判斷是否存在實(shí)數(shù)k，使得以CD為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)E？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直線l：y=bx+2與圓x²+y²=2相切，求出b，利用橢圓的離心率求出a，得到橢圓方程．
（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，消去y可得：（1+3k²）x²+12kx+9=0，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則利用韋達(dá)定理結(jié)合EC⊥ED，求解k，說(shuō)明存在實(shí)數(shù)$k=-\frac{7}{6}$使得以CD為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)E．

解答 解：（1）因?yàn)橹本�l：y=bx+2與圓x²+y²=2相切，
∴$\frac{2}{{\sqrt{{b^2}+1}}}=\sqrt{2}$，
∴b=1，
∵橢圓的離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$\frac{{{a^2}-1}}{a^2}={（\frac{{\sqrt{6}}}{3}）^2}$，
∴a²=3，
∴所求橢圓的方程是$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，消去y可得：（1+3k²）x²+12kx+9=0
∴△=36k²-36＞0，∴k＞1或k＜-1，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則有${x_1}+{x_2}=-\frac{12k}{{1+3{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{9}{{1+3{k^2}}}$，
若以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E，則EC⊥ED，
∵$\overrightarrow{EC}=（{x_1}-1，{y_1}）$，$\overrightarrow{ED}=（{x_2}-1，{y_2}）$，
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5=0
∴$（1+{k^2}）×\frac{9}{{1+3{k^2}}}+（2k-1）×（-\frac{12k}{{1+3{k^2}}}）+5=0$，
解得$k=-\frac{7}{6}＜-1$，
所以存在實(shí)數(shù)$k=-\frac{7}{6}$使得以CD為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)E．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查存在性問(wèn)題的處理方法，設(shè)而不求的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．