Question

19．設(shè)區(qū)間[q，p]的長(zhǎng)度為p-q，其中p＞q．現(xiàn)已知兩個(gè)區(qū)間[4lnm，ln²m]與[lnm，4lnm-10]的長(zhǎng)度相等，則e^x+1+me^-x的最小值為（　�。�

• A． 2e³
• B． $2{e^{\frac{3}{2}}}$或2e³
• C． $2{e^{\frac{3}{2}}}$
• D． $2{e^{\frac{3}{2}}}$或2e²

Answer 1

分析 兩個(gè)區(qū)間[4lnm，ln²m]與[lnm，4lnm-10]的長(zhǎng)度相等，可得ln²m-4lnm=4lnm-10-lnm，解得m=e⁵．則e^x+1+me^-x=e^x+1+e^5-x=f（x）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵兩個(gè)區(qū)間[4lnm，ln²m]與[lnm，4lnm-10]的長(zhǎng)度相等，∴l(xiāng)n²m-4lnm=4lnm-10-lnm，
∴l(xiāng)n²m-7lnm+10=0，
解得lnm=2或lnm=5．
其中l(wèi)nm=2舍去．
∴m=e⁵．
則e^x+1+me^-x=e^x+1+e^5-x=f（x）．
f′（x）=e^x+1-e^5-x，令f′（x）=0，解得x=2．
可知：當(dāng)x=2時(shí)，則e^x+1+e⁵e^-x=2e³．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．