Question

（本題滿分16分）
已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，滿足恒成立的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè).

Answer 1

(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/57/8/kvicw1.gif" style="vertical-align:middle;" />  ，
所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，……2分
所以在點(diǎn)處的切線方程為， 4分
(2) 令<0，對(duì)恒成立，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/15/9/1wkcu3.gif" style="vertical-align:middle;" /> （*）
………………………………………………………………6分
①當(dāng)時(shí)，有，即時(shí)，在（，+∞）上有，
此時(shí)在區(qū)間（，+∞）上是增函數(shù)，
并且在該區(qū)間上有∈，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，有，同理可知，在區(qū)間上，有∈，
也不合題意；                  …………………………………………… 8分                              
③當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，
從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，
所以．                   ………………………………………11分
綜上可知的范圍是．         ………………………………………12分
(3)當(dāng)時(shí)，
記．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e3/8/4ew2w3.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以在上為增函數(shù)，
所以，             ………………………………14分
設(shè), 則,所以在區(qū)間上，
滿足恒成立的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)．     …………………16分

解析