Question

5．已知a為實(shí)數(shù)，f（x）=x³+$\frac{1}{2}$ax²-6x+4．
（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，計(jì)算極值和端點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出函數(shù)的最值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）=x³+$\frac{1}{2}$ax²-6x+4，
f′（x）=3x²-3x-6，
由3x²-3x-6=0得：x=-1或x=2是函數(shù)f （x）的極值點(diǎn)（4分）
∴f （-2）=2，f（-1）=$\frac{15}{2}$，f （2）=-6，f（3）=-$\frac{1}{2}$，
∴f （x）在[-2，3]上的最大值是$\frac{15}{2}$，最小值是-6．
（2）f′（x）=3x²+ax-6，
若f （x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，則3x²+ax-6≤0在[-1，1]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（1）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3-a-6≤0}\\{3+a-6≤0}\end{array}\right.$，解得：-3≤a≤3，
∴a的取值范圍是[-3，3]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．