Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），若y=

f(x)

x

在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“一階比增函數(shù)”；若y=

f(x)

x2

在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“二階比增函數(shù)”．我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω₁，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω₂．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x³-2hx²-hx，若f（x）∈Ω₁，且f（x）∉Ω₂，求實(shí)數(shù)h的取值范圍；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω₁且f（x）的部分函數(shù)值由下表給出，

x	a	b	c	a+b+c
f（x）	d	d	t	4

求證：d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）定義集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω₂，且存在常數(shù)k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，請(qǐng)問：是否存在常數(shù)M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)f（x）為“一階比增函數(shù)”不是“二階比增函數(shù)”．可得g（x）=

f(x)

x

=x²-2hx-h，在（0，+∞）是增函數(shù)，且h（x）=

f(x)

x2

=x-2h-

h

x

在（0，+∞）不是增函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)法，可求出實(shí)數(shù)h的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）為“一階比增函數(shù)”，且0＜a＜b＜c，結(jié)合表中數(shù)據(jù)可得f（a）=d＜

4a

a+b+c

，f（b）=d＜

4b

a+b+c

，f（c）=t＜

4c

a+b+c

，根據(jù)不等式的性質(zhì)可證得d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）根據(jù)f（x）為“二階比增函數(shù)”，我們先證明f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立，再證明f（x）=0在（0，+∞）上無解，綜合兩個(gè)證明結(jié)果，可得答案．

解答：解：（I）因?yàn)閒（x）∈Ω₁，且f（x）∉Ω₂，
即g（x）=

f(x)

x

=x²-2hx-h，在（0，+∞）是增函數(shù)，所以h≤0  …（2分）
而h（x）=

f(x)

x2

=x-2h-

h

x

在（0，+∞）不是增函數(shù)，
又∵h(yuǎn)′（x）=1+

h

x2

，且
當(dāng)h（x）是增函數(shù)時(shí)，有h≥0，所以當(dāng)h（x）不是增函數(shù)時(shí)，h＜0
綜上，得h＜0                          …（4分）
證明：（Ⅱ） 因?yàn)閒（x）∈Ω₁，且0＜a＜b＜c＜a+b+c，
所以

f(a)

a

＜

f(a+b+c)

a+b+c

=

4

a+b+c

，所以f（a）=d＜

4a

a+b+c

，
同理可證f（b）=d＜

4b

a+b+c

，f（c）=t＜

4c

a+b+c

三式相加得f（a）+f（b）+f（c）=2d+t＜

4(a+b+c)

a+b+c

=4
所以2d+t-4＜0                        …（6分）
因?yàn)?span id="esghi1w" class="MathJye">

d

a

＜

d

b

，所以d（

b-a

ab

）＜0
而0＜a＜b，所以d＜0
所以d（2d+t-4）＞0                                …（8分）
（Ⅲ） 因?yàn)榧�合�?{f（x）|f（x）∈Ω₂，且存在常數(shù)k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，
所以?f（x）∈Φ，存在常數(shù)k，使得 f（x）＜k 對(duì)x∈（0，+∞）成立
我們先證明f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立
假設(shè)?x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，
記

f(x0)

x02

=m＞0
因?yàn)閒（x）是二階比增函數(shù)，即

f(x)

x2

是增函數(shù)．
所以當(dāng)x＞x₀時(shí)，

f(x)

x2

＞

f(x0)

x02

=m，所以f（x）＞mx²
所以一定可以找到一個(gè)x₁＞x₀，使得f（x₁）＞mx₁²＞k
這與f（x）＜k 對(duì)x∈（0，+∞）成立矛盾                 …（11分）
即f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立
所以?f（x）∈Φ，f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立
下面我們證明f（x）=0在（0，+∞）上無解
假設(shè)存在x₂＞0，使得f（x₂）=0，
則因?yàn)閒（x）是二階增函數(shù)，即

f(x)

x2

是增函數(shù)
一定存在x₃＞x₂＞0，使

f(x3)

x32

＞

f(x2)

x22

=0，這與上面證明的結(jié)果矛盾
所以f（x）=0在（0，+∞）上無解
綜上，我們得到?f（x）∈Φ，f（x）＜0對(duì)x∈（0，+∞）成立
所以存在常數(shù)M≥0，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立
又令f（x）=-

1

x

（x＞0），則f（x）＜0對(duì)x∈（0，+∞）成立，
又有

f(x)

x2

=

-1

x3

在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以f（x）∈Φ，
而任取常數(shù)k＜0，總可以找到一個(gè)x_n＞0，使得x＞x_n時(shí)，有有f（x）＞k
所以M的最小值 為0       …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，全稱命題，熟練掌握導(dǎo)數(shù)法在確定函數(shù)單調(diào)性和最值時(shí)的答題步驟是解答的關(guān)鍵．本題難度較大，運(yùn)算量繁雜．