Question

（2012•增城市模擬）設f(x)=lnx+

a

x

(a≥0，且為常數)
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）判斷f（x）在定義域內是否有零點？若有，有幾個？

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域，然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可得到函數的單調區(qū)間；
（2））對a進行分類討論：①當a=0時，f（x）=lnx有1個零點；②當a＞0時，f（x）_min=1+lna，再分情況：當1+lna＞0，即a＞

1

e

時無零點；當1+lna=0，即a=

1

e

時有1個零點；當1+lna＜0，即0＜a＜

1

e

時有2個零點即可．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域為（0，+∞）（1分）f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

=0（2分）∴x=a（3分）
當a=0時，f'（x）＞0，∴f（x）的單調區(qū)間為（0，+∞）且f（x）在（0，+∞）上單調增       （4分）
當a＞0時，x∈（o，a）時，f'（x）＜0x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0（5分）
所以f（x）的單調區(qū)間是（0，a），（a，+∞）且f（x）在（0，a）上單調減，在（a，+∞）上單調增（6分）
（2）①當a=0時，f（x）=lnx有1個零點x=1（7分）
②當a＞0時，f（x）_min=1+lna（8分）
當1+lna＞0，即a＞

1

e

時無零點                                 （9分）
當1+lna=0，即a=

1

e

時有1個零點x=

1

e

（10分）
當1+lna＜0，即0＜a＜

1

e

時有2個零點                          （11分）
∵f（a）＜0，f（x）在（0，a）上單調減，且取x=

1

ean

(n∈N+)，當n＞-

lna

a

時，

1

ean

＜a，有f(

1

ean

)=-na+aean＞a•(2an-n)=a[(2a)n-n]，當n足夠大時f(

1

ean

)＞0
∴f（x）在（0，a）上有1個零點                                      （12分）
f（x）在（a，+∞）上單調增，且f（1）=a＞0
∴f（x）在（a，+∞）上有1個零點   （13分）
所以當a=0或a=

1

e

時，f（x）有1個零點；當0＜a＜

1

e

時，f（x）有2個零點；當a＞

1

e

時，f（x）無零點．（14分）

點評：本題是函數的綜合題，綜合考查了利用導數求函數的單調區(qū)間，求函數的零點，及分類討論思想，有一定的難度，是一道很好的函數題．