Question

變量x，y滿足

x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1

（1）設(shè)z=

y

x

，求z的最小值；
（2）設(shè)z=x²+y²+6x-4y+13，求z的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出A，B，C的坐標(biāo)，根據(jù)z=

y

x

的幾何意義，從而求出z的最小值；
（2）z=（x+3）²+（y-2）²的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)（-3，2）的距離的平方，結(jié)合圖形求出即可．

解答： 解　由約束條件

x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1

作出（x，y）的可行域，
如圖陰影部分所示：

由

x=1 3x+5y-25=0

，解得A（1，

22

5

），
由

x=1 x-4y+3=0

，解得C（1，1），
由

x-4y+3=0 3x+5y-25=0

，可得B（5，2），
（1）∵z=

y

x

=

y-0

x-0

，
∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率，
觀察圖形可知z_min=k_OB=

2

5

；
（2）z=x²+y²+6x-4y+13=（x+3）²+（y-2）²的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)（-3，2）的距離的平方，
結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到（-3，2）的距離中，
d_min=4，d_max=8．
故z的取值范圍是[16，64]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．