Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（-3x）+1的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若銳角A滿足f（

A

2

-

π

6

）=

3

，且a=7，sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（2x+

π

3

），于是可得函數(shù)y=f（-3x）+1的解析式，利用正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可求得其最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）依題意，可求得A=

π

3

，利用正弦定理可求得b+c=13，再用余弦定理可求得bc=40，從而可得△ABC的面積．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵f(x)=2sinxcosx+

3

(2cos2x-1)=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)…（2分）
∴y=f(-3x)+1=2sin(-6x+

π

3

)+1=-2sin(6x-

π

3

)+1，
∴y=f（-3x）+1的最小正周期為T=

2π

6

=

π

3

…（3分）
由2kπ-

π

2

≤6x-

π

3

≤2kπ+

π

2

得：

1

3

kπ-

π

36

≤x≤

1

3

kπ+

5π

36

，k∈Z，
∴y=f（-3x）+1的單調(diào)遞減區(qū)間是[

1

3

kπ-

π

36

，

1

3

kπ+

5π

36

]，k∈Z…（6分）
（Ⅱ）∵f(

A

2

-

π

6

)=

3

，∴2sin(A-

π

3

+

π

3

)=

3

，∴sinA=

3

2

…（7分）
∵0＜A＜

π

2

，∴A=

π

3

．
由正弦定理得：sinB+sinC=

b+c

a

sinA，
即

13 3

14

=

b+c

7

×

3

2

，∴b+c=13…（9分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：a²=（b+c）²-2bc-2bccosA，
即49=169-3bc，∴bc=40…1（1分）
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

…（12分）

點評：本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性，突出考查正弦定理與余弦定理的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．