Question

雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，其右支上存在一點(diǎn)P，使得PF₁與漸近線y=

b

a

x交于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)Q，且滿足△F₁QF₂與△F₁PF₂的面積之比為

2

3

，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：作F₁H₁，PH₂⊥漸近線l分別于H₁，H₂，則由三角形的面積公式可得，

S△F1QF2

S△F1PF2

=

QF1

PF1

=

QF1

PQ+QF1

=

2

3

，即有

PQ

QF1

=

1

2

，再由三角形F₁H₁Q∽三角形PH₂Q，有

PQ

QF1

=

1

2

，再將P向右移動(dòng)，觀察變化，考慮P在右頂點(diǎn)處時(shí)

PQ

QF1

＞

1

2

即可得到離心率的范圍．

解答： 解：作F₁H₁，PH₂⊥漸近線l：y=

b

a

x分別于H₁，H₂，
則由三角形的面積公式可得，

S△F1QF2

S△F1PF2

=

QF1

PF1

=

QF1

PQ+QF1

=

2

3

，即有

PQ

QF1

=

1

2

，
由三角形F₁H₁Q∽三角形PH₂Q，得到

PQ

QF1

=

PH2

F1H1

=

1

2

，
由漸近線的含義發(fā)現(xiàn)隨著P點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，

PQ

QF1

=

PH2

F1H1

在減小，且趨于0，
所以只要P在右頂點(diǎn)處時(shí)

PQ

QF1

＞

1

2

即可，
此時(shí)即

PQ

QF1

=

a

c

＞

1

2

⇒1＜e＜2．
故答案為：（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)和運(yùn)用，主要是漸近線的應(yīng)用，考查離心率的取值范圍，注意考慮特殊位置，屬于中檔題．