Question

【題目】已知無窮數(shù)列，是公差分別為、的等差數(shù)列，記（），其中表示不超過的最大整數(shù)，即.

（1）直接寫出數(shù)列，的前4項(xiàng)，使得數(shù)列的前4項(xiàng)為：2，3，4，5；

（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；

（3）求證：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是.

Answer 1

【答案】（1）的前4項(xiàng)為1，2，3，4，的前4項(xiàng)為1，1，1，1；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)定義，選擇，的前4項(xiàng)，盡量選用整數(shù)計(jì)算方便；（2）分別考慮，的前項(xiàng)的規(guī)律，然后根據(jù)計(jì)算的運(yùn)算規(guī)律計(jì)算；（3）根據(jù)必要不充分條件的推出情況去證明即可.

（1）由的前4項(xiàng)為：2，3，4，5，選、的前項(xiàng)為正整數(shù)：的前4項(xiàng)為1，2，3，4，的前4項(xiàng)為1，1，1，1；

（2）將的前項(xiàng)列舉出：；將的前項(xiàng)列舉出：；

則；

（3）充分性：取，此時(shí)，將的前項(xiàng)列舉出：，將前項(xiàng)列出：，此時(shí)的前項(xiàng)為：，顯然不是等差數(shù)列，充分性不滿足；必要性：設(shè)，，當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，因?yàn)?/span>，所以 ，又因?yàn)?/span>，所以有：

，且，所以；，，

不妨令，則有如下不等式：；

當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，

，此時(shí)無解；

當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，

，此時(shí)無解；

所以必有：，故：必要性滿足；

綜上：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是