Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)E、F分別是AB和PC的中點(diǎn)．

(1)求證：AB⊥平面PAD；

(2)求證：EF//平面PAD．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）證明PA⊥AB，AD⊥AB，證得AB⊥平面PAD．

（2）取CD的中點(diǎn)G，由FG是三角形CPD的中位線，可得 FG∥PD，再由矩形的性質(zhì)得 EG∥AD，證明平面EFG∥平面PAD，從而證得EF∥平面PAD．

（1）∵側(cè)棱PA垂直于底面，∴PA⊥AB．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，

這樣，AB垂直于平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，∴AB⊥平面PAD．

（2）取CD的中點(diǎn)G，∵E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)，∴FG是三角形CPD的中位線，

∴FG∥PD，FG∥面PAD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面PAD．

故平面EFG∥平面PAD，∴EF∥平面PAD．