Question

14．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，則△ABC的外接圓的面積是$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得2acosC+c=2b，由正弦定理，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得sinC=2cosAsinC，結合sinC＞0，可求cosA，結合A∈（0，π），可得sinA，利用正弦定理可求△ABC的外接圓半徑R，由圓的面積公式即可計算得解．

解答 解：∵a=1，2cosC+c=2b，
∴2acosC+c=2b，由正弦定理可得：2sinAcosC+sinC=2sinB，
∴2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC，可得：sinC=2cosAsinC，
∵C為三角形內角，sinC＞0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，結合A∈（0，π），可得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ABC的外接圓半徑R=$\frac{a}{2sinA}$=$\frac{1}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：△ABC的外接圓的面積S=πR²=$π×（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，圓的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．