Question

4．已知變量x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{1≤x+y≤3}\\{-1≤x-y≤1}\end{array}}\right.$，若目標函數(shù)z=2x+y取到最大值a，則（x+$\frac{1}{x}$-2）^a的展開式中x²的系數(shù)為（　�。�

• A． -144
• B． -120
• C． -80
• D． -60

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用線性規(guī)劃的知識先求出a=5，然后利用二項式定理的內容進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當直線y=-2x+z經過點A時，直線y=-2x+z的截距最大，
此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（2，1），代入目標函數(shù)z=2x+y得z=2×2+1=5．
即目標函數(shù)z=2x+y的最大值為a=5，
（x+$\frac{1}{x}$-2）^a=（x+$\frac{1}{x}$-2）⁵，
∵x²=x•x•1×1×1=x•x•x•$\frac{1}{x}$×1，
∴（x+$\frac{1}{x}$-2）⁵的展開式中x²的系數(shù)為${C}_{5}^{2}$•（-2）³+${C}_{5}^{3}$•${C}_{2}^{1}$•（-2）=-80-40=-120，
故選：B．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃和二項式定理的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．綜合性較強，有一定的難度．