Question

12．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥B₁C；
（2）求三棱錐E-FCB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點(diǎn)，可得B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，進(jìn)一步得到B₁C⊥平面ABC₁D₁，進(jìn)而B(niǎo)₁C⊥BD₁，再由中位線定理即可得到EF⊥B₁C；
（2）由題意，可先證明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱錐的高，再求出底面△B₁EF的面積，然后由等積法把三棱錐E-FCB₁的體積轉(zhuǎn)化為C-B₁EF的體積求解．

解答 （1）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，又AB∩BC₁=B
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，
∴B₁C⊥BD₁，
又∵E、F分別為DD₁、DB的中點(diǎn)，∴EF∥BD₁，
∴EF⊥B₁C；
（2）∵CF⊥平面BDD₁B₁，
∴CF⊥平面EFB₁，
由已知得CF=BF=$\sqrt{2}$，
∵EF=$\frac{1}{2}$BD₁，${B}_{1}F=\sqrt{B{F}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}=\sqrt{6}$，${B}_{1}E=\sqrt{{B}_{1}{{D}_{1}}^{2}+{D}_{1}{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=3$，
∴$E{F}^{2}+{B}_{1}{F}^{2}={B}_{1}{E}^{2}$，即∠EFB₁=90°，
∴${V}_{E-FC{B}_{1}}={V}_{C-{B}_{1}EF}$=$\frac{1}{3}$•${S}_{△{B}_{1}EF•CF}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{6}×\sqrt{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理及錐體的體積的求法，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體體積，是中檔題．