【題目】設數(shù)列滿足|an﹣ |≤1，n∈N* ．
（1）求證：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）
（2）若|an|≤（ ）n ， n∈N* ， 證明：|an|≤2，n∈N* ．

【答案】
（1）

解：∵|an﹣ |≤1，∴|an|﹣ |an+1|≤1，

∴ ﹣ ≤ ，n∈N*，

∴ =（ ）+（ ）+…+（ ）≤ + + +…+ = =1﹣ ＜1．

∴|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）


（2）

解：任取n∈N*，由（1）知，對于任意m＞n，

﹣ =（ ）+（ ）+…+（ ）

≤ + +…+ = ＜ ．

∴|an|＜（ + ）2n≤[ + （ ）m]2n=2+（ ）m2n．①

由m的任意性可知|an|≤2．

否則，存在n0∈N*，使得| |＞2，

取正整數(shù)m0＞ 且m0＞n0，則

＜ （ ） =| |﹣2，與①式矛盾．

綜上，對于任意n∈N*，都有|an|≤2


【解析】（1）使用三角不等式得出|an|﹣ |an+1|≤1，變形得 ﹣ ≤ ，使用累加法可求得 ＜1，即結論成立；（2）利用（1）的結論得出 ﹣ ＜ ，進而得出|an|＜2+（ ）m2n ， 利用m的任意性可證|an|≤2．本題考查了不等式的應用與證明，等比數(shù)列的求和公式，放縮法證明不等式，難度較大．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ex+1）（ax+2a﹣2），若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）﹣2＜0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（0，1）
B.（0， ）
C.（﹣∞，1）
D.（﹣∞， ）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解男性家長和女性家長對高中學生成人禮儀式的接受程度，某中學團委以問卷形式調查了位家長，得到如下統(tǒng)計表：

男性家長

女性家長

合計

贊成

無所謂

合計

（1）據(jù)此樣本，能否有的把握認為“接受程度”與家長性別有關？說明理由；

（2）學校決定從男性家長中按分層抽樣方法選出人參加今年的高中學生成人禮儀式，并從中選人交流發(fā)言，求發(fā)言人中至多一人持“贊成”態(tài)度的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+bx（a，b∈R）．

（Ⅰ）當b=-1時，函數(shù)f（x）恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的值；

（Ⅱ）當b=1時，

①若對于任意x∈[1，3]，恒有f（x）≤2x2，求a的取值范圍；

②若a≥2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值g（a）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知a≥3，函數(shù)F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=
（1）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍
（2）（1）求F（x）的最小值m（a）
（3）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）=x﹣ sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調遞增，則a的取值范圍是（　�。�
A.[﹣1，1]
B.[﹣1， ]
C.[﹣ ， ]
D.[﹣1，﹣ ]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求該函數(shù)的值域；

（2）求不等式的解集；

（3）若對于恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】圓x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圓心到直線ax+y﹣1=0的距離為1，則a=（　　）
A.﹣
B.﹣
C.
D.2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列數(shù)列{an}的通項公式an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn為其前n項和．

(1)求S1，S2，S3，S4的值；

(2)猜想Sn的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論．

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