Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}，g（x）=k（{x-1}）$．
（1）證明：?k∈R，直線y=g（x）都不是曲線y=f（x）的切線；
（2）若?x∈[e，e²]，使得f（x）≤g（x）+$\frac{1}{2}$成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，設(shè)出切點，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx+x-1，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，即可得證；
（2）f（x）≤g（x）+$\frac{1}{2}$?$\frac{x}{lnx}$-k（x-1）≤$\frac{1}{2}$，可令m（x）=$\frac{x}{lnx}$-k（x-1），x∈[e，e²]，則?x∈[e，e²]，使得f（x）≤g（x）+$\frac{1}{2}$成立?m（x）_min≤$\frac{1}{2}$．對k討論，當(dāng)k≥$\frac{1}{4}$時，當(dāng)k＜$\frac{1}{4}$時，運用單調(diào)性，求出最小值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）證明：f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），
f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
直線y=g（x）過定點（1，0），
若直線y=g（x）與y=f（x）相切于點（m，$\frac{m}{lnm}$），
則k=$\frac{lnm-1}{（lnm）^{2}}$=$\frac{\frac{m}{lnm}}{m-1}$，即為lnm+m-1=0①
設(shè)h（x）=lnx+x-1，h′（x）=$\frac{1}{x}$+1＞0，
則h（x）在（0，+∞）遞增，h（1）=0，當(dāng)且僅當(dāng)m=1①成立．
與定義域矛盾，故?k∈R，直線y=g（x）都不是曲線y=f（x）的切線；
（2）f（x）≤g（x）+$\frac{1}{2}$?$\frac{x}{lnx}$-k（x-1）≤$\frac{1}{2}$，可令m（x）=$\frac{x}{lnx}$-k（x-1），x∈[e，e²]，
則?x∈[e，e²]，使得f（x）≤g（x）+$\frac{1}{2}$成立?m（x）_min≤$\frac{1}{2}$．
m′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$-k=-（$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$-k，
當(dāng)k≥$\frac{1}{4}$時，m′（x）≤0，m（x）在[e，e²]遞減，于是m（x）_min=m（e²）=$\frac{{e}^{2}}{2}$-k（e²-1）≤$\frac{1}{2}$，
解得k≥$\frac{1}{2}$，滿足k≥$\frac{1}{4}$，故k≥$\frac{1}{2}$成立；
當(dāng)k＜$\frac{1}{4}$時，由y=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$-k，及t=$\frac{1}{lnx}$得m′（x）=-（$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$-k在[e，e²]遞增，
m′（e）≤m′（x）≤m′（e²），即-k≤m′（x）≤$\frac{1}{4}$-k，
①若-k≥0即k≤0，m′（x）≥0，則m（x）在[e，e²]遞增，m（x）_min=m（e）=e-k（e-1）≥e＞$\frac{1}{2}$，不成立；
②若-k＜0，即0＜k＜$\frac{1}{4}$時，由m′（e）=-k＜0，m′（e²）=$\frac{1}{4}$-k＞0，
由m′（x）單調(diào)性可得?x₀∈[e，e²]，由m′（x₀）=0，且當(dāng)x∈（e，x₀），m′（x）＜0，m（x）遞減；
當(dāng)x∈（x₀，e²）時，m′（x）＞0，m（x）遞增，
可得m（x）的最小值為$\frac{{x}_{0}}{ln{x}_{0}}$+k（x₀-1），由$\frac{{x}_{0}}{ln{x}_{0}}$+k（x₀-1）≤$\frac{1}{2}$，可得k≥$\frac{1}{{x}_{0}-1}$（$\frac{{x}_{0}}{ln{x}_{0}}$-$\frac{1}{2}$）
＞$\frac{1}{{x}_{0}-1}$（$\frac{{x}_{0}-1}{2}$）=$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{4}$，與0＜k＜$\frac{1}{4}$矛盾．
綜上可得k的范圍是k≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)法，轉(zhuǎn)化思想的運用，綜合性強，屬于難題．