設(shè)點(diǎn)An(xn,0),Pn(xn,2n-1)和拋物線Cn:y=x2+anx+bn(n∈N*),其中an=-2-4n-
12n-1
,xn由以下方法得到:x1=1,點(diǎn)P2(x2,2)在拋物線C1:y=x2+a1x+b1上,點(diǎn)A1(x1,0)到P2的距離是A1到C1上點(diǎn)的最短距離,…,點(diǎn)Pn+1(xn+1,2n)在拋物線Cn:y=x2+anx+bn上,點(diǎn)An(xn,0)到Pn+1的距離是An到Cn上點(diǎn)的最短距離.
(Ⅰ)求x2及C1的方程.
(Ⅱ)證明{xn}是等差數(shù)列.
分析:本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合問題,涉及了拋物線方程、直線與拋物線的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、求曲線方程、證明等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等多方面的知識和方法.
對于(Ⅰ)的求解,要充分利用點(diǎn)在拋物線上則滿足拋物線方程,結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式用點(diǎn)p(x,y)表示|A1P|,然后借助于導(dǎo)數(shù),利用f'(x2)=0建立方程,最終使問題得到解決.
對于(Ⅱ)類比(Ⅰ),首先利用點(diǎn)P(x,y)是Cn上任意一點(diǎn),得到|AnP|=
(x-xn)2+y2
=
(x-xn)2+(x2+anx+bn)2
,然后利用導(dǎo)數(shù)思想獲得xn+1-xn)+2(xn+12+anx+bn)(2xn+1+an)=0并由此通過數(shù)學(xué)歸納法證明出xn=2n-1,也即證明了{(lán)xn}是等差數(shù)列.
解答:解:(Ⅰ)由題意得A1(1,0),C1:y=x2-7x+b1
設(shè)點(diǎn)P(x,y)是C1上任意一點(diǎn),
則|A1P|=
(x-1)2+y2
=
(x-1)2+(x2-7x+b1)2

令f(x)=(x-1)2+(x2-7x+b12
則f'(x)=2(x-1)+2(x2-7x+b1)(2x-7)
由題意得f'(x2)=0,
即2(x2-1)+2(x22-7x+b1)(2x2-7)=0
又P2(x2,2)在C1上,∴2=x22-7x2+b1
解得x2=3,b1=14
故C1的方程為y=x2-7x+14
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是Cn上任意一點(diǎn),
則|AnP|=
(x-xn)2+y2
=
(x-xn)2+(x2+anx+bn)2

令g(x)=(x-xn2+(x2+anx+bn2
則g'(x)=2(x-xn)+2(x2+anx+bn)(2x+an
由題意得g'(xn+1)=0
即2(xn+1-xn)+2(xn+12+anx+bn)(2xn+1+an)=0
又∵2n=xn+1,∴(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n≥1),
即(1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0??(*)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明xn=2n-1,
①當(dāng)n=1時,x1=1,等式成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k時,等式成立,即xk=2k-1,
則當(dāng)n=k+1時,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0,
又ak=2-4k-
1
2k-1
,∴xk+1=
xk-2kak
1+2k+1
=2k+1,
即n=k+1時,等式成立.
由①②知,等式對n∈N*成立,
故{xn}是等差數(shù)列.
點(diǎn)評:本題的綜合性極強(qiáng),是多種知識和方法的匯總,處理起來難度較大,不僅需要具備綜合運(yùn)用知識的能力,還要運(yùn)算準(zhǔn)確,不走彎路,像這樣的題目,在山東省的近幾年高考中少見,不是所有人所追求,只提供給部分?jǐn)?shù)學(xué)功底強(qiáng)勁的同學(xué)研究,希望量力而行.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)點(diǎn)列An(xn,0)、Pn(xn,2n-1)和拋物線列Cn:y=x2+
x
2n
+an
(n∈N*),xn由以下方法得到:點(diǎn)Pn+1(xn+1,2n)在拋物線Cn:y=x2+
x
2n
+an
上,點(diǎn)An(xn,0)到Pn+1的距離是An到Cn上點(diǎn)的最短距離;試寫出xn+1和xn之間的遞推關(guān)系式為xn+1=
 
(用xn表示).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,
BC
的大小是
AB
大小的k倍,
BC
的方向由
AB
的方向逆時針旋轉(zhuǎn)θ角得到,則我們稱
AB
經(jīng)過一次(θ,k)延伸得到
BC
. 已知
OA1
=(1,0)

(1)向量
OA1
經(jīng)過2次(
π
2
,
1
2
)
延伸,分別得到向量
A1A2
、
A2A3
,求
A1A2
、
A2A3
的坐標(biāo).
(2)向量
OA1
經(jīng)過n-1次(
π
2
,
1
2
)
延伸得到的最后一個向量
An-1An
,(n∈N*,n>1),設(shè)點(diǎn)An(xn,yn),求An的極限位置A(
lim
n→∞
xn
lim
n→∞
yn)

(3)向量
OA1
經(jīng)過2次(θ,k)延伸得到向量
A1A2
A2A3
,其中k>0,θ∈(0,π),若
OA1
、
A1A2
A2A3
恰能夠構(gòu)成一個三角形(即A3與O重合),求θ,k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2005年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)點(diǎn)An(xn,0),Pn(xn,2n-1)和拋物線Cn:y=x2+anx+bn(n∈N*),其中an=-2-4n-,xn由以下方法得到:x1=1,點(diǎn)P2(x2,2)在拋物線C1:y=x2+a1x+b1上,點(diǎn)A1(x1,0)到P2的距離是A1到C1上點(diǎn)的最短距離,…,點(diǎn)Pn+1(xn+1,2n)在拋物線Cn:y=x2+anx+bn上,點(diǎn)An(xn,0)到Pn+1的距離是An到Cn上點(diǎn)的最短距離.
(Ⅰ)求x2及C1的方程.
(Ⅱ)證明{xn}是等差數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江 題型:解答題

設(shè)點(diǎn)An(xn,0),Pn(xn,2n-1)和拋物線Cn:y=x2+anx+bn(n∈N*),其中an=-2-4n-
1
2n-1
,xn由以下方法得到:x1=1,點(diǎn)P2(x2,2)在拋物線C1:y=x2+a1x+b1上,點(diǎn)A1(x1,0)到P2的距離是A1到C1上點(diǎn)的最短距離,…,點(diǎn)Pn+1(xn+1,2n)在拋物線Cn:y=x2+anx+bn上,點(diǎn)An(xn,0)到Pn+1的距離是An到Cn上點(diǎn)的最短距離.
(Ⅰ)求x2及C1的方程.
(Ⅱ)證明{xn}是等差數(shù)列.

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