Question

已知a，b∈R，且e^x+1≥ax+b對x∈R恒成立，則ab的最大值是（　　）

• A、

  1

  2

  e³
• B、

  2

  2

  e³
• C、

  3

  2

  e³
• D、e³

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：分a＜0、a=0、a＞0三種情況討論，而a＜0、a=0兩種情況容易驗證是否恒成立，在當a＞0時，構造函數(shù)f（x）=ae^x+1-a²x來研究不等式e^x+1≥ax+b恒成立的問題，求導易得．

解答： 解：若a＜0，由于一次函數(shù)y=ax+b單調遞減，不能滿足且e^x+1≥ax+b對x∈R恒成立，則a≥0．
若a=0，則ab=0．
若a＞0，由e^x+1≥ax+b得b≤e^x+1-ax，則ab≤ae^x+1-a²x．
設函數(shù)f（x）=ae^x+1-a²x，
∴f′（x）=ae^x+1-a²=a（e^x+1-a），令f′（x）=0得e^x+1-a=0，解得x=lna-1，
∵x＜lna-1時，x+1＜lna，則e^x+1＜a，則e^x+1-a＜0，∴f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）遞減；
同理，x＞lna-1時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）遞增；
∴當x=lna-1時，函數(shù)取最小值，f（x）的最小值為f（lna-1）=2a²-a²lna．
設g（a）=2a²-a²lna（a＞0），
g′（a）=a（3-2lna）（a＞0），
由g′（a）=0得a=e

3

2

，
不難得到a＜e

3

2

時，g′（a）＞0；a＞e

3

2

時，g′（a）＜0；
∴函數(shù)g（a）先增后減，∴g（a）的最大值為g(e

3

2

)=

1

2

e3，
即ab的最大值是

1

2

e3，此時a=e

3

2

，b=

1

2

e

3

2

．
故選：A．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調性，以及利用導數(shù)求函數(shù)的最值的應用，滲透了分類討論思想，屬于中檔題．