Question

設(shè)f（x）=x²+2^|x|，對于實數(shù)x₁，x₂，給出下列條件：①x₁+x₂＞0，②x₁+x₂＜0，③x

2 1

＞x

2 2

，④x₁＞|x₂|；其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的是

 

．（寫出所有答案）

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：易判斷函數(shù)f（x）為偶函數(shù)及在（0，+∞）上遞增，在（-∞，0）上遞減，①②可舉反例排除；③④由奇偶性、單調(diào)性可判斷．

解答： 解：∵f（-x）=f（x），∴函數(shù)f（x）=x²+2^|x|是偶函數(shù)，
當(dāng)x＞0時，f（x）=x²+2^x單調(diào)遞增，
∴可知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
①若x₁=1，x₂=2，則x₁+x₂＞0，
由f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，知f（x₁）＜f（x₂），故①錯誤；
②若x₁=-1，x₂=-2，則x₁+x₂＜0，
由f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，知f（x₁）＜f（x₂），故②錯誤；|
③由x₁²＞x₂²可得|x₁|＞|x₂|≥0，
由函數(shù)在（0，+∞）是增函數(shù)，得f（|x₁|）＞f（|x₂|），即f（x₁）＞f（x₂），故③正確；
④x₁＞|x₂|≥0，由函數(shù)在（0，+∞）是增函數(shù)，得f（|x₁|）＞f（|x₂|），即f（x₁）＞f（x₂），故④正確；
故答案為：③④．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其綜合應(yīng)用，考查恒成立問題，考查學(xué)生推理論證能力，屬中檔題．