Question

8．已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=2，DC=3，E為AB的中點，過E作EF∥AD，將四邊形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥面EBCF．
（1）若G為DF的中點，求證：EG∥面BCD；
（2）若AD=2，試求多面體AD-BCFE體積．

Answer 1

分析 （1）取DC的中點H，連接GH，BH，可得GH∥FC，GH=$\frac{1}{2}FC$，且FC=2，進一步得到四邊形EGHB為平行四邊形，則EG∥BH，由線面平行的判定得EG∥面BCD；
（2）由面ADEF⊥面BEFC，可得BE，EF，DF兩兩垂直，連接BF，所求的幾何體分為兩部分轉(zhuǎn)化為四棱錐B-EFDA與三棱錐B-DFC的體積和，由此求得答案．

解答 證明：（1）取DC的中點H，連接GH，BH，
∵GH∥FC，GH=$\frac{1}{2}FC$，且FC=2，
∴GH=EB，且GH∥EB，
∴四邊形EGHB為平行四邊形，EG∥BH，BH?面BDC，故EG∥面BCD；
解：（2）∵面ADEF⊥面BEFC，
∴BE，EF，DF兩兩垂直，連接BF，所求的幾何體分為兩部分，四棱錐B-EFDA與三棱錐B-DFC，
${V}_{B-EFDA}=\frac{1}{3}BE•{S}_{EFDA}=\frac{1}{3}×1×2×1=\frac{2}{3}$，
${V}_{B-DFC}=\frac{1}{3}AD•{S}_{△DFC}=\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×1×2=\frac{2}{3}$，
∴多面體AD-BCFE體積為2×$\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．