Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x+1|，x∈[-2，0]}\\{2f（x-2），x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$，若方程f（x）-x=a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是（-2，0）∪{1}．

Answer 1

分析 作出函數(shù)y=f（x）和y=x+a的圖象．利用兩個圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題確定a的取值范圍．

解答 解：若0≤x≤2，則-2≤x-2≤0，
∴f（x）=2f（x-2）=2（1-|x-2+1|）=2-2|x-1|，0≤x≤2．
若2≤x≤4，則0≤x-2≤2，
∴f（x）=2f（x-2）=2（2-2|x-2-1|）=4-4|x-3|，2≤x≤4．
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4．
設(shè)y=f（x）和y=x+a，則方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個不等實根，、
等價為函數(shù)y=f（x）和y=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個不同的零點(diǎn)．
作出函數(shù)f（x）和y=x+a的圖象，如圖：
，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）時，兩個圖象有2個交點(diǎn)，此時直線y=x+a為y=x-2，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）時，兩個圖象有4個交點(diǎn)，此時直線y=x+a為y=x，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（3，4）和C（1，2）時，兩個圖象有3個交點(diǎn)，此時直線y=x+a為y=x+1，
∴要使方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個不等實根，
則a=1或-2＜a＜0．
故答案為：（-2，0）∪{1}．

點(diǎn)評 本題主要考查方程根的個數(shù)的應(yīng)用，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．