若
a
=(cos
x
2
+sin
x
2
，-sin
x
2
)，
b
=(cos
x
2
-sin
x
2
，2cos
x
2
)，設(shè)f(x)=
a
•
b
；
（1）求 f（x）的最小正周期和對稱中心；
（2）當(dāng)
a
⊥
b
時，求x的值．
（3）若x∈[
π
12
，
5π
6
]，求 f（x）的值域．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積，二倍角公式已經(jīng)兩角和的余弦函數(shù)，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求 f（x）的最小正周期和對稱中心；
（2）當(dāng)
a
⊥
b
時，數(shù)量積為0，直接求出x的值．
（3）若x∈[
π
12
，
5π
6
]，求出(x+
π
4
)∈[
π
3
，
13
12
π]，利用余弦函數(shù)的值域，求出 f（x）的值域．
解答：解：（1）：∵f(x)=
a
•
b
=(cos
x
2
+sin
x
2
)•(cos
x
2
-sin
x
2
)+(-sin
x
2
)•2cos
x
2

=cos2
x
2
-sin2
x
2
-2sin
x
2
cos
x
2
=cosx-sinx
=
2
(cosx•
2
2
-sinx•
2
2
)=
2
cos(x+
π
4
)
∴f（x）的最小正周期T=2π，
由x+
π
4
=kπ+
π
2
可得：x=kπ+
π
4

∴函數(shù)圖象的對稱中心為(kπ+
π
4
，0) k∈Z．
（2）∵ 
a
⊥
b
 
 
 
∴
a
.
b
=0
，
 
 
即
2
cos(x+
π
4
)=0∴x+
π
4
=kπ+
π
2
，k∈Z，
∴x=kπ+
π
4
，k∈Z．
（3）x∈[
π
12
，
5π
6
]得(x+
π
4
)∈[
π
3
，
13
12
π]得
cos(x+
π
4
)∈[-1，
1
2
]
∴f(x)=
2
cos(x+
π
4
)∈[-
2
，
2
2
]
故 當(dāng)x∈[
π
12
，
5π
6
]時，f（x）的值域是[-
2
，
2
2
]．
點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式與兩角和的余弦函數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(cos
x
2
，sin
x
2
)，B(cos
3x
2
，-sin
3x
2
)，其中x∈[-
π
2
，0].
（Ⅰ）求|
AB
|的表達式；
（Ⅱ）若
OA
•
OB
=
1
3
（O為坐標(biāo)原點），求tanx的值；
（Ⅲ）若f(x)=
AB
2+4λ|
AB
|(λ∈R)，求函數(shù)f（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[
π
2
，π]
（1）若|
a
+
b
|＞
3
，求x的范圍；
（2）f(x)=
a
•
b
+|
a
+
b
|，若對任意x1，x2∈[
π
2
，π]，恒有|f（x1）-f（x2）|＜t，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
x
2
，sin
x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-cos
x
2
)，若函數(shù)f(x)=
a
•
b
-
1
2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若f（a）=
3
2
10
，求sin2a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•棗莊模擬）已知向量a=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，b=(-sin
x
2
，-cos
x
2
)，其中x∈[
π
2
，π]．
（1）若|a+b|=
3
，求x的值；
（2）函數(shù)f（x）=
a
•
b
+|
a
+
b
|2，若c＞f（x）恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案