Question

已知A（-1，0），B（1，0），若點(diǎn)C（x，y）滿足2

(x-1)2+y2

=|x-4|，則|AC|+|BC|=（　�。�

A．6

B．4

C．2

D．與x，y取值有關(guān)

Answer 1

分析：將點(diǎn)C（x，y）滿足的方程兩邊平方，得4（x-1）²+4y²=（x-4）²，整理得：

x2

4

 +

y2

3

=1．可得點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，滿足a²=4，b²=3，得c=

a2-b2

=1．可知點(diǎn)A、B恰好此橢圓的左右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義，得|AC|+|BC|=
2a=4．因此得到正確選項(xiàng)．

解答：解：∵點(diǎn)C（x，y）滿足2

(x-1)2+y2

=|x-4|，
∴兩邊平方，得4（x-1）²+4y²=（x-4）²，整理得：3x²+4y²=12．
∴點(diǎn)C（x，y）滿足的方程可化為：

x2

4

 +

y2

3

=1．
所以點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，滿足a²=4，b²=3，得c=

a2-b2

=1．
因此該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，0），B（1，0），
根據(jù)橢圓的定義，得|AC|+|BC|=2a=4．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)含有根式和絕對(duì)值的方程，將其化簡(jiǎn)得到圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到距離和為定值．著重考查了橢圓的定義和曲線與方程的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．