【題目】已知函數(shù)
(1)當a=0時,求f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)是否存在實數(shù)a,當0<x≤2時,函數(shù)f(x)圖象上的點都在 所表示的平面區(qū)域(含邊界)?若存在,求出a的值組成的集合;否則說明理由;
(3)若f(x)有兩個不同的極值點m,n(m>n),求過兩點M(m,f(m)),N(n,f(n))的直線的斜率的取值范圍.

【答案】
(1)解:a=0時,f(x)=x﹣2lnx,f′(x)=1﹣ ,

∴f(1)=1,f′(1)=﹣1,

∴求出直線方程是y﹣1=﹣(x﹣1),

即y=﹣x+2;


(2)解:由題意得:0<x≤2時,f(x)≤x,即 ﹣2lnx≤0,

設φ(x)= ﹣2lnx,則問題等價于x∈(0,2]時,φ(x)max≤0,

φ′(x)=﹣ ,

(i)當a≥0時,φ′(x)<0,不合題意,

(ii)當a<0時,①﹣ ∈(0,2)時,φ(x)在(0,﹣ )上遞增,在(﹣ ,2)上遞減,

φ(x)max=φ(﹣ )=﹣2﹣2ln(﹣ )≤0,此時,a∈(﹣4,﹣ ];

②﹣ ∈[2,+∞)時,φ(x)在(0,2]遞增,φ(2)= ﹣2ln2≤0,

此時,a∈(﹣∞,﹣4];

綜上,存在實數(shù)a組成的集合{a|a≤﹣ };

方法二:由題意f(x)≤x,對x∈(0,2]恒成立,

﹣2lnx≤0對x∈(0,2]恒成立,

﹣2lnx≤0得,a≤2xlnx,

令φ(x)=2xlnx,(0<x≤2),則a≤[φ(x)]min,

φ′(x)=2(lnx+x )=2(lnx+1),

當0<x< 時,φ′(x)<0,

<x<2時,φ′(x)>0,

∴φ(x)在(0,2]上的最小值是φ( )=﹣ ,

故a≤﹣ 為所求;


(3)解:由f′(x)= =0(x>0),

得x2﹣2x﹣a=0,(x>0),

由題意得: ,解得:﹣1<a<0,

kMN= = =2﹣ ,

設t= ,(m>n),

則kMN=2﹣ (t>1),

設g(t)= lnt,(t>1),

則g′(t)= ,

設h(t)=t﹣ ﹣2lnt(t>1),

則h′(t)=1+ = >0,

∴h(t)在(1,+∞)遞增,

∴h(t)>h(1)=0即g(t)>0,

∴g(t)在(1,+∞)遞增,

t→+∞時,g(t)→+∞,

設Q(t)=lnt﹣(1﹣ ),(t>1),

則Q′(t)= >0,

∴Q(t)在(1,+∞)遞增,

∴Q(t)>Q(1)=0,即lnt>1﹣

同理可證t﹣1>lnt,

∴t+1>

當t→1時,t+1→2, →2,

∴t→1時,g(t)→2,

∴直線MN的斜率的取值范圍是(﹣∞,0).


【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),計算f(1),f′(1)的值,求出切線方程即可;(2)法一:根據(jù) ﹣2lnx≤0,設φ(x)= ﹣2lnx,則問題等價于x∈(0,2]時,φ(x)max≤0,通過討論a的范圍,求出函數(shù)的最大值,從而求出a的范圍即可;法二:由 ﹣2lnx≤0得,a≤2xlnx,令φ(x)=2xlnx,(0<x≤2),則a≤[φ(x)]min , 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值,從而求出a的范圍即可;(3)求出函數(shù)f(x)的導數(shù),求出a的范圍,表示出直線MN的斜率,結合換元思想以及函數(shù)的單調(diào)性求出斜率k的范圍即可.
【考點精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣6x2+9x,g(x)= x3 x2+ax﹣ (a>1)若對任意的x1∈[0,4],總存在x2∈[0,4],使得f(x1)=g(x2),則實數(shù)a的取值范圍為(
A.(1, ]??
B.[9,+∞)??
C.(1, ]∪[9,+∞)??
D.[ ]∪[9,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若(x2﹣a)(x+ 10的展開式中x6的系數(shù)為30,則 (3x2+1)dx=

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的a的值為3,則輸出的i=

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,該程序運行后輸出的結果是(
A.6
B.8
C.10
D.12

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】給出以下四個結論: ①函數(shù) 的對稱中心是(﹣1,2);
②若關于x的方程 沒有實數(shù)根,則k的取值范圍是k≥2;
③在△ABC中,“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的充分不必要條件;
④若 的圖象向右平移φ(φ>0)個單位后為奇函數(shù),則φ最小值是
其中正確的結論是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知O為△ABC內(nèi)一點,且 , ,若B,O,D三點共線,則t的值為(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知a,b,c分別為銳角△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且(a+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC (Ⅰ)求∠A的大。
(Ⅱ)若f(x)= sin cos +cos2 ,求f(B)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若一條直線與一個平面成72°角,則這條直線與這個平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成角中最大角等于(
A.72°
B.90°
C.108°
D.180°

查看答案和解析>>

同步練習冊答案