Question

6．如圖，在圓x²+y²=9上任取一點P，過點P作x軸的垂線PD，D為垂足，點M滿足$\overrightarrow{DM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DP}$；當點P在圓x²+y²=9上運動時，點M的軌跡為E．
（1）求點M的軌跡的方程E；
（2）與已知圓x²+y²=1相切的直線l：y=km+m交E于A，B兩點，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （ I）設點M（x，y），P（x，y₀），D（x，0），利用$\overrightarrow{DM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DP}$求出點$P（x，\frac{3}{2}y）$代入圓x²+y²=9可得點M的軌跡E的方程．
（ II）直線l：y=kx+m與x²+y²=1相切，求出m，k關系式，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程，通過韋達定理以及判別式，求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的表達式，然后求解取值范圍．

解答 解：（ I）設點M（x，y），P（x，y₀），D（x，0），
由已知$\overrightarrow{DM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DP}$得$y=\frac{2}{3}{y_0}$即${y_0}=\frac{3}{2}y$，點$P（x，\frac{3}{2}y）$；…（2分）
因為點$P（x，\frac{3}{2}y）$在圓x²+y²=9上運動，得${x^2}+{（\frac{3}{2}y）^2}=9$
即$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；…（4分）
所以點M的軌跡E的方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．…（5分）
（ II）直線l：y=kx+m與x²+y²=1相切，$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$即m²=k²+1；（7分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{4{x^2}+9{y^2}=36}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$得（9k²+4）x²+18kmx+9m²-36=0，直線l與E交于兩點，
得△=144（9k²+4-m²）=144（8k²+3）＞0，${x_1}+{x_2}=-\frac{18km}{{9{k^2}+4}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{9{m^2}-36}}{{9{k^2}+4}}$，
從而${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）=\frac{{4{m^2}-36{k^2}}}{{9{k^2}+4}}$；…（9分）
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（{x_1}，{y_1}）•（{x_2}，{y_2}）={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}$=$\frac{{13{m^2}-36{k^2}-36}}{{9{k^2}+4}}=-\frac{23}{9}（1+\frac{5}{{9{k^2}+4}}）$，
又$0＜\frac{5}{{9{k^2}+4}}≤\frac{5}{4}$，$1＜1+\frac{5}{{9{k^2}+4}}≤\frac{9}{4}$，
$-\frac{23}{4}≤-\frac{23}{9}（1+\frac{5}{{9{k^2}+4}}）＜-\frac{23}{9}$．…（11分）
所以，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍$[-\frac{23}{4}，-\frac{23}{9}）$．…（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，橢圓方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．