Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax+b（a，b∈R）在x=ln2處的切線方程為y=x-2ln2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0，k≤2時(shí)，求證：（k-x）f'（x）＜x+1（其中f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（ln2）=1，求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（k-x）e^x-k-1＜0，令g（x）=（k-x）e^x-k-1，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+a，
由已知得f′（ln2）=1，故e^ln2+a=1，解得a=-1，
又f（ln2）=-ln2，得e^ln2-ln2+b=-ln2，解得：b=-2，
f（x）=e^x-x-2，所以f′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)區(qū)間遞增區(qū)間為（0，+∞），遞減區(qū)間為（-∞，0）；
證明：（Ⅱ）由已知（k-x）f′（x）＜x+1，及f′（x）=e^x-1，
整理得（k-x）e^x-k-1＜0，
令g（x）=（k-x）e^x-k-1，（x＞0），g′（x）=（k-1-x）e^x，
g′（x）=0得，x=k-1，
①因?yàn)閤＞0，所以g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
g（x）＜g（0）=-1＜0，滿足條件．  
②當(dāng)1＜k≤2時(shí)，x∈（0，k-1），g′（x）＞0，g（x）在上為增函數(shù)；
x∈（k-1，+∞），g′（x）＜0，g（x）在上為減函數(shù)．
所以g（x）_max=g（k-1）=e^k-1-（k+1），
令h（k）=e^k-1-（k+1），（1＜k≤2），h′（k）=e^k-1-1＞0，
h（k）在k∈（1，2]上為增函數(shù)，所以h（k）≤h（2）=e-3＜0，
故當(dāng)x＞0，k≤2時(shí)，（k-x）f′（x）＜x+1成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．