Question

7．隨著醫(yī)院對(duì)看病掛號(hào)的改革，網(wǎng)上預(yù)約成為了當(dāng)前最熱門(mén)的就診方式，這解決了看病期間病人插隊(duì)以及醫(yī)生先治療熟悉病人等諸多問(wèn)題；某醫(yī)院研究人員對(duì)其所在地區(qū)年齡在10～60歲間的n位市民對(duì)網(wǎng)上預(yù)約掛號(hào)的了解情況作出調(diào)查，并將被調(diào)查的人員的年齡情況繪制成頻率分布直方圖，如右圖所示．
（1）若被調(diào)查的人員年齡在20～30歲間的市民有300人，求被調(diào)查人員的年齡在40歲以上（含40歲）的市民人數(shù)；
（2）若按分層抽樣的方法從年齡在[20，30）以?xún)?nèi)及[40，50）以?xún)?nèi)的市民中隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)研，記隨機(jī)抽的3人中，年齡在[40，50）以?xún)?nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布列求出被調(diào)查的人員年齡在20～30歲間的市民的頻率，由此求出n，再求出被調(diào)查人員的年齡在40歲以上（含40歲）的市民的頻率，從而能求出被調(diào)查人員的年齡在40歲以上（含40歲）的市民人數(shù)．
（2）年齡在[20，30）內(nèi)的市民有300人，年齡在[40，50）內(nèi)的市民有200人，按分層抽樣的方法從年齡在[20，30）以?xún)?nèi)及[40，50）以?xún)?nèi)的市民中隨機(jī)抽取10人，年齡在[20，30）內(nèi)的市民抽中6人，年齡在[40，50）內(nèi)的市民抽中4人，從而X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布列知被調(diào)查的人員年齡在20～30歲間的市民的頻率為0.030×10=0.3，
∵被調(diào)查的人員年齡在20～30歲間的市民有300人，
∴n=$\frac{300}{0.3}$=1000，
∵被調(diào)查人員的年齡在40歲以上（含40歲）的市民的頻率為（0.020+0.005）×10=0.25，
∴被調(diào)查人員的年齡在40歲以上（含40歲）的市民人數(shù)為：0.25×1000=250人．
（2）年齡在[20，30）內(nèi)的市民有：0.030×1000=300人，
年齡在[40，50）內(nèi)的市民有：0.020×1000=200人，
按分層抽樣的方法從年齡在[20，30）以?xún)?nèi)及[40，50）以?xún)?nèi)的市民中隨機(jī)抽取10人，
年齡在[20，30）內(nèi)的市民抽中300×$\frac{10}{300+200}$=6人，
年齡在[40，50）內(nèi)的市民抽中：200×$\frac{10}{300+200}$=4人，
再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)研，記隨機(jī)抽的3人中，年齡在[40，50）以?xún)?nèi)的人數(shù)為X，
則X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

EX=$0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖、分層抽樣的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用．