(本題滿分15分)已知實(shí)數(shù)a滿足0<a≤2,a≠1,設(shè)函數(shù)f (x)=x3-x2+ax.
(Ⅰ) 當(dāng)a=2時(shí),求f (x)的極小值;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x (b∈R)的極小值點(diǎn)與f (x)的極小值點(diǎn)相同.
求證:g(x)的極大值小于等于.
(Ⅰ) f (x)極小值為f (2)=.(Ⅱ) g(x)的極大值小于等于.
【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的問(wèn)題。
(1)因?yàn)楫?dāng)a=2時(shí),f ′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2),然后求解導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),以及導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零的解集即可判定單調(diào)性得到極值。
(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x (b∈R)的極小值點(diǎn)與f (x)的極小值點(diǎn)相同,則分析函數(shù)g(x)的極值,求解導(dǎo)數(shù),對(duì)于參數(shù)a分類討論得到單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而得到極值,利用相等來(lái)解得。
(Ⅰ) 解: 當(dāng)a=2時(shí),f ′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2).
列表如下:
x |
(-,1) |
1 |
(1,2) |
2 |
(2,+) |
f ′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f (x) |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
所以,f (x)極小值為f (2)=. …………………………………5分
(Ⅱ) 解:f ′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).
g ′(x)=3x2+2bx-(2b+4)+=.
令p(x)=3x2+(2b+3)x-1,
(1) 當(dāng) 1<a≤2時(shí),
f (x)的極小值點(diǎn)x=a,則g(x)的極小值點(diǎn)也為x=a,
所以p(a)=0,
即3a2+(2b+3a)-1=0,
即b=,
此時(shí)g(x)極大值=g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b
=-3+ =.
由于1<a≤2,
故 ≤2--=.………………………………10分
(2) 當(dāng)0<a<1時(shí),
f (x)的極小值點(diǎn)x=1,則g(x)的極小值點(diǎn)為x=1,
由于p(x)=0有一正一負(fù)兩實(shí)根,不妨設(shè)x2<0<x1,
所以0<x1<1,
即p(1)=3+2b+3-1>0,
故b>-.
此時(shí)g(x)的極大值點(diǎn)x=x1,
有 g(x1)=x13+bx12-(2b+4)x1+lnx1
<1+bx12-(2b+4)x1
=(x12-2x1)b-4x1+1 (x12-2x1<0)
<-(x12-2x1)-4x1+1
=-x12+x1+1
=-(x1-)2+1+ (0<x1<1)
≤
<.
綜上所述,g(x)的極大值小于等于. ……………………14分
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(本題滿分15分)已知點(diǎn)(0,1),,直線、都是圓的切線(點(diǎn)不在軸上).
(Ⅰ)求過(guò)點(diǎn)且焦點(diǎn)在軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)(1,0)作直線與(Ⅰ)中的拋物線相交于兩點(diǎn),問(wèn)是否存在定點(diǎn)使為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及常數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆江蘇省揚(yáng)州市高二下期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分15分)
已知命題p:,命題q:. 若“p且q”為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年浙江省桐鄉(xiāng)市高三10月月考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分15分)已知函數(shù).
(Ⅰ)若為定義域上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值;
(Ⅲ)當(dāng),且時(shí),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年浙江省桐鄉(xiāng)市高三下學(xué)期2月模擬考試文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分15分)已知圓N:和拋物線C:,圓的切線與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,
(1)當(dāng)直線的斜率為1時(shí),求線段AB的長(zhǎng);
(2)設(shè)點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線對(duì)稱,問(wèn)是否存在直線使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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(本題滿分15分)已知直線,曲線
(1)若且直線與曲線恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值;
(2)若,直線與曲線M的交點(diǎn)依次為A,B,C,D四點(diǎn),求|AB+|CD|的取值范圍。[來(lái)源:Z+xx+k.Com]
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