Question

已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，點A、B分別為其左、右頂點，點F₁、F₂分別為其左、右焦點，以點A為圓心，AF₁為半徑作圓A；以點B為圓心，OB為半徑作圓B；若直線l： y=-

3

3

x被圓A和圓B截得的弦長之比為

15

6

；
（1）求橢圓C的離心率；
（2）己知a=7，問是否存在點P，使得過P點有無數(shù)條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為

3

4

；若存在，請求出所有的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線l的斜率可知直線l的傾斜角，進(jìn)而可求得點A到直線l的距離，進(jìn)而表示出直線l被圓A截得的弦長和被圓B截得的弦長，利用弦長之比為

15

6

，求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而求得e．
（2）假設(shè)存在，設(shè)P點坐標(biāo)為（m，n），過P點的直線為L，當(dāng)直線L的斜率不存在時，直線L不能被兩圓同時所截，故可知直線L的斜率一定存在，進(jìn)而可設(shè)直線方程，求得點A（-7，0）到直線L的距離，根據(jù)（1）的離心率求得圓A的半徑，同樣可求得圓B的半徑，則可求得直線L被兩圓截得的弦長，根據(jù)他們的比為

3

4

建立等式，整理成關(guān)于k的一元二次方程，方程有無窮多解，進(jìn)而求得m和n，則點P的坐標(biāo)可得．

解答：解：（1）由kl=-

3

3

，得直線l的傾斜角為150°，
則點A到直線l的距離d1=asin(180°-150°)=

a

2

，
故直線l被圓A截得的弦長為L1=2

(a-c)2- d 2 1

=2

(a-c)2-( a 2 )2

，
直線l被圓B截得的弦長為L2=2acos(180°-150°)=

3

a，
據(jù)題意有：

L1

L2

=

15

6

，即

2 (a-c)2-( a 2 )2

3 a

=

15

6

化簡得：16e²-32e+7=0，
解得：e=

7

4

或e=

1

4

，又橢圓的離心率e∈（0，1）；
故橢圓C的離心率為e=

1

4

．

（2）假設(shè)存在，設(shè)P點坐標(biāo)為（m，n），過P點的直線為L；
當(dāng)直線L的斜率不存在時，直線L不能被兩圓同時所截；
故可設(shè)直線L的方程為y-n=k（x-m），
則點A（-7，0）到直線L的距離D1=

|-7k-km+n|

1+k2

，
由（1）有e=

c

a

=

1

4

，得rA=a-c=

3a

4

=

21

4

，
故直線L被圓A截得的弦長為L1′=2

r 2 A - D 2 1

，
則點B（7，0）到直線L的距離D2=

|7k-km+n|

1+k2

，r_B=7，
故直線L被圓B截得的弦長為L2′=2

r 2 B - D 2 2

，
據(jù)題意有：

L1

L2

=

3

4

，即有16（r_A²-D₁²）=9（r_B²-D₂²），整理得4D₁=3D₂，
即

4|-7k-km+n|

1+k2

=

3|7k-km+n|

1+k2

，
關(guān)于k的方程有無窮多解，
故有：

7m2+350m+343=0 7n2=0

?

n=0 m=-1

或

n=0 m=-49

，
故所求點P坐標(biāo)為（-1，0）或（-49，0）．

點評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓、圓的關(guān)系的綜合考查．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運算能力．