Question

已知P是橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1上的動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是其左右焦點，O是坐標(biāo)原點，則

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

的取值范圍是

[-

2

，

2

]

．

Answer 1

分析：設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n），利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義算出|PF₂|=e|PQ|=

2

2

（4-m）=2

2

-

2

2

m，同理可得|PF₁|=2

2

+

2

2

m，結(jié)合|PO|=

m2+n2

得

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

=

2 m

m2+n2

．再根據(jù)橢圓方程將其化簡為關(guān)于m的函數(shù)，利用橢圓上點的橫坐標(biāo)的范圍加以計算，可得所求

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

的取值范圍．

解答：解：設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n）
∵橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1中，a²=8，b²=4，
∴c=

a2-b2

=2，得橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±

a2

c

，即x=±4
作出橢圓的右準(zhǔn)線，設(shè)P在右準(zhǔn)線上的射影為Q，連結(jié)PQ，
根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得

|PF2|

|PQ|

=e，
∴|PF₂|=e|PQ|=

2

2

（4-m）=2

2

-

2

2

m，同理可得|PF₁|=2

2

+

2

2

m，
∵|PO|=

m2+n2

，
∴

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

=

(2 2 + 2 2 m)-(2 2 - 2 2 m)

m2+n2

=

2 m

m2+n2

∵點P（m，n）在橢圓

x2

8

+

y2

4

=1上，得

m2

8

+

n2

4

=1，
∴n2=4(1-

m2

8

)=4-

m2

2

，
由此可得

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

=

2 m

m2+(4- m2 2 )

，得（

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

）²=

4m2

8+m2

，
∵m²∈[0，a²]即m²∈[0，8]，得

4m2

8+m2

∈[0，2]，
∴

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

∈[-

2

，

2

]．
故答案為：[-

2

，

2

]

點評：本題給出橢圓，求橢圓上一點與兩個焦點距離之差與該點到原點的距離之比的取值范圍．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、圓錐曲線的統(tǒng)一定義和兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．