Question

8．已知A、B、C是拋物線y²=2px（p＞0）上三個不同的點，且AB⊥AC．
（Ⅰ）若A（1，2），B（4，-4），求點C的坐標；
（Ⅱ）若拋物線上存在點D，使得線段AD總被直線BC平分，求點A的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A（1，2）在拋物線上，求出p=2，設C（$\frac{{t}^{2}}{4}$，t），則由k_ABk_AC=-1，解得t=6，由此能求出C點坐標．
（Ⅱ）設A（x₀，y₀），B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}，{y}_{1}$），C（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}，{y}_{2}$），則直線BC的方程為（y₁+y₂）（y+y₀）=2p（x-2p-x₀），從而直線BC恒過點E（x₀+2p，-y₀），直線AE的方程為y=-$\frac{{y}_{0}}{p}$（x-x₀）+y₀，代入拋物線方程，得D（$\frac{2p（{x}_{0}+p）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}$，-$\frac{2p（{x}_{0}+p）}{{y}_{0}}$），利用線段AD總被直線BC平分，能求出點A的坐標．

解答 解：（Ⅰ）∵A（1，2）在拋物線y²=2px（p＞0）上，∴p=2，
設C（$\frac{{t}^{2}}{4}$，t），則由AB⊥AC，得k_ABk_AC=-1，
∵A（1，2），B（4，-4），k_ABk_AC=-1，
∴k_ABk_AC=$\frac{2+4}{1-4}$×$\frac{2-t}{1-\frac{{t}^{2}}{4}}$=-1，
解得t=6，即C（9，6）．
（Ⅱ）設A（x₀，y₀），B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}，{y}_{1}$），C（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}，{y}_{2}$），
則直線BC的方程為（y₁+y₂）（y+y₀）=2p（x-2p-x₀），
故直線BC恒過點E（x₀+2p，-y₀），
∴直線AE的方程為y=-$\frac{{y}_{0}}{p}$（x-x₀）+y₀，
代入拋物線方程y²=2px（p＞0），得點D的坐標為（$\frac{2p（{x}_{0}+p）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}$，-$\frac{2p（{x}_{0}+p）}{{y}_{0}}$），
∵線段AD總被直線BC平分，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（{x}_{0}+2p）={x}_{0}+\frac{2p（{x}_{0}+p）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}}\\{-2{y}_{0}={y}_{0}-\frac{2p（{x}_{0}-p）}{{y}_{0}}}\end{array}\right.$，解得${x}_{0}=\frac{p}{2}，{y}_{0}=±p$，
∴點A的坐標A（$\frac{p}{2}，±p$）．

點評 本題考查點的坐標的求法，考查拋物線、直線的斜率、韋達定理、中點坐標公式、直線與直線垂直等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．