Question

如圖1，在平面內，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADD''A₁和CDD'C₁都是正方形．將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使D''與D'重合于點D₁．設直線l過點B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點E是直線l上的一個動點，且與點D₁位于平面ABCD同側，設BE=t（t＞0）（圖2）．
（1）設二面角E-AC-D₁的大小為q，若

π

4

≤θ≤

π

3

，求t的取值范圍；
（2）在線段D₁E上是否存在點P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，若存在，求出P分

D1E

所成的比λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設菱形ABCD的中心為O，以O為原點，對角線AC，BD所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標系，設BE=t，分別求出平面D₁AC的法向量與平面EAC的法向量，代入向量夾角公式，根據

π

4

≤θ≤

π

3

，構造不等式，解不等式即可得到答案．
（2）假設存在滿足題意的點P，令

D1P

=λ

PE

，則可以求出P點的坐標，再根據平面PA₁C₁∥平面EAC，我們可根據

A1P

•

n2

=0，構造方程，解方程即可求出滿足條件的λ的值．

解答：解：（1）設菱形ABCD的中心為O，以O為原點，對角線AC，BD所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標系如圖．設BE=t（t＞0）．

（1）A（

3

2

a，0，0），C（-

3

2

a，0，0），D₁（0，-

a

2

，a），E（0，-

a

2

，t）

AD1

=（-

3

2

a，-

a

2

，a），

AC

=（-

3

a，0，0）
設平面D₁AC的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則

n1 • AD1 =0 n1 • AC =0

?

- 3 2 ax1- a 2 y1+z1a=0 - 3 ax1=0

，
令z₁=1得

n1

=(0，2，1)．

AE

=（-

3

2

a，

a

2

，t），設平面EAC的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，
則

n2 • AE =0 n1 • AC =0

?

- 3 2 ax2+ a 2 y2+z2=0 - 3 ax2=0

，
令z₂=-a得

n2

=(0，2t，-a)．
設二面角E-AC-D₁的大小為θ，則cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

4t-a

20t2+5a2

．
∵

π

4

≤θ≤

π

3

∴cosθ∈[

1

2

，

2

2

]
∴

1

2

≤|

4t-a

20t2+5a2

|≤

2

2

解得

8+5 3

22

a≤t≤

3a

2

所以t的取值范圍是[

8+5 3

22

a，

3a

2

]．
（2）假設存在滿足題意的點P，
令

D1P

=λ

PE

則P（0，

a

2

•

λ-1

λ+1

，

λt+a

1+λ

）
由平面PA₁C₁∥平面EAC，
得A₁P∥平面EAC，
∴

A1P

•

n2

=0
∴t•

λ-1

λ+1

-

λt-aλ

1+λ

=0，
化簡：λ=

t

a

（t≠a）
即線段D₁E上存在點P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，P分

D1E

所成的比λ=

t

a

（t≠a）；

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，民平面平行的判定，（1）的關鍵是出平面D₁AC的法向量與平面EAC的法向量，代入向量夾角公式，根據

π

4

≤θ≤

π

3

，構造不等式，（2）的關鍵是根據

A1P

•

n2

=0，構造方程．