Question

如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：BD₁⊥平面ACB₁
（2）若BD₁與平面ACB₁交于點(diǎn)H，求BH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證明AC⊥BD₁，AB₁⊥BD₁，即可證得結(jié)論；
（2）利用等體積計(jì)算，即可求得BH長(zhǎng)．

解答：（1）證明：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
因?yàn)锳C⊥BD，AC⊥DD₁，且BD∩DD₁
所以AC⊥平面BDD₁B₁
又BD₁?平面BDD₁B₁
所以AC⊥BD₁，同理可證AB₁⊥BD₁，
又因?yàn)锳C與AB₁是平面ACB₁內(nèi)的兩條相交直線，
所以BD₁⊥平面ACB₁
（2）解：因?yàn)锽D₁與平面ACB₁交于點(diǎn)H，所以由（1）知BH⊥平面ACB₁
又VB1-ABC=VB-AB1C，所以

1

3

•S△ABC•BB1=

1

3

•S△AB1C•BH
又正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長(zhǎng)為1，所以S△ABC=

1

2

，S△AB1C=

3

2

，BB₁=1
所以BH=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查三棱錐體積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．