Question

已知函數(shù)f（x）=2（log₂x）²-2a（log₂x）+b，當(dāng)x=

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時(shí)有最小值-8，
（1）求a，b的值；     
（2）當(dāng)x∈[

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，8]時(shí)，求f（x）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)建立條件關(guān)系即可求a，b的值；     
（2）求出當(dāng)x∈[

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4

，8]時(shí)，t的取值范圍，根據(jù)一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可求f（x）的最值．

解答： 解：（I）令t=log₂x，則t∈R，得y=2t²-2at+b，
當(dāng)x=

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時(shí)有最小值-8，即此時(shí)t=log₂

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2

=-1，
當(dāng)t=

a

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=-1時(shí)，函數(shù)有最小值，解得a=-2，
此時(shí)函數(shù)的最小值為b-

a2

2

=b-2=-8，
解得b=-6，即a=-2，b=-6．
（II）∵x∈[

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，8]時(shí)，t=log₂x∈[-2，3]，
∴當(dāng)t=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-8，
當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為24．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和最值的求解，利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．