Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}$-ax+（1+a）lnx，a∈R，且y=f（x）在x=1處的切線垂直于y軸．
（1）若a=-1，求y=f（x）在x=$\frac{1}{2}$處的切線方程；
（2）討論f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（$\frac{1}{2}$），f′（$\frac{1}{2}$）的值，從而求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：$f'（x）=-\frac{x^2}-a+\frac{1+a}{x}$，
由題意f'（1）=-b-a+1+a=0，故b=1；
（1）若a=-1，$f（x）=\frac{1}{x}+x$，則$f（\frac{1}{2}）=\frac{5}{2}$，
因?yàn)?f'（x）=-\frac{1}{x^2}+1$，所以$k=f'（\frac{1}{2}）=-3$，
故所求切線方程為$y-\frac{5}{2}=-3（x-\frac{1}{2}）$，即y=-3x+4．
（2）$f'（x）=-\frac{x^2}-a+\frac{1+a}{x}=\frac{{-a{x^2}+（1+a）x-1}}{x^2}=\frac{-（ax-1）（x-1）}{x^2}$，
當(dāng)a=0時(shí)，由f'（x）=0得x=1，
則f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0得x=1或$x=\frac{1}{a}$，
則f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0得x=1或$x=\frac{1}{a}$，
若0＜a＜1，則$1＜\frac{1}{a}$，則f（x）在$（1，\frac{1}{a}）$內(nèi)單調(diào)遞增，在（0，1]和$[\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞減；
若a=1，則$\frac{1}{a}=1$，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞1，則$\frac{1}{a}＜1$，則f（x）在$（\frac{1}{a}，1）$內(nèi)單調(diào)遞增，在$（0，\frac{1}{a}]$和[1，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道中檔題．