Question

定義：一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)一動點，若點P到直線C₁D₁的距離是點P到平面ABCD的距離的

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2

倍，則動點P的軌跡所在的曲線類型是（　�。�

A．圓

B．橢圓

C．雙曲線

D．拋物線

Answer 1

分析：利用新定義，結(jié)合長方體，將點P到直線C₁D₁的距離是點P到平面ABCD的距離的

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2

倍，轉(zhuǎn)化為側(cè)面BCC₁B₁中，動點P到定點C₁的距離等于點P到直線BC距離的

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2

倍，根據(jù)橢圓的定義，即可判斷．

解答：解：由題意，連接PC₁，過P作PE⊥BC
∵平面ABCD⊥平面BCC₁B₁，PE⊥BC，平面ABCD∩平面BCC₁B₁=BC
∴PE⊥平面ABCD
∵D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，PC₁?平面BCC₁B₁，
∴PC₁⊥D₁C₁
∵點P到直線C₁D₁的距離是點P到平面ABCD的距離的

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2

倍，
∴PC₁=

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2

PE
即側(cè)面BCC₁B₁中，動點P到定點C₁的距離等于點P到直線BC距離的

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倍，
∴動點P的軌跡所在的曲線類型是橢圓
故選B．

點評：本題以新定義為載體，考查橢圓的定義，解題的關(guān)鍵是將已知條件轉(zhuǎn)化為側(cè)面BCC₁B₁中，動點P到定點C₁的距離等于點P到直線BC距離的

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2

倍．