Question

1．已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的正數(shù)x、y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且f（a_n）=f（S_n+2）-f（4）（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{2}$×（$\frac{4}{3}$）ⁿ．

Answer 1

分析 由f（a_n）=f（S_n+2）-f（4），即為（a_n）=f（S_n+2）-f（4），由條件可得f（S_n+2）=f（4a_n），由單調(diào)性可得S_n+2=4a．，求得首項(xiàng)，將n換為n-1，相減，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵對(duì)任意的正數(shù)x、y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
且f（a_n）=f（S_n+2）-f（4）（n∈N^*），
∴f（S_n+2）=f（a_n）+f（4）=f（4•a_n），
又∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
∴S_n+2=4a_n…①．
當(dāng)n=1時(shí)，S₁+2=a₁+2=4a₁，解得a₁=$\frac{2}{3}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+2=4a_n-1…②．
①-②得：a_n=4a_n-4a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{4}{3}$．
∴數(shù)列{a_n}是一個(gè)以$\frac{2}{3}$為首項(xiàng)，以$\frac{4}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=$\frac{2}{3}•（\frac{4}{3}）^{n-1}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{4}{3}$）ⁿ．
故答案為：$\frac{1}{2}$×（$\frac{4}{3}$）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，抽象函數(shù)的運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，屬于中檔題．