Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）求點D到平面PAC的距離．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：取AB的中點O，連接PO，CO，AC，
∵△APB為等腰三角形，∴PO⊥AB
又∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴△ACB是等邊三角形，∴CO⊥AB
又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，
又PC平面PCO，∴AB⊥PC．
（II）解：∵∠APB=90°，AB=2，AP=BP= ，∴PO=1
∵△ABC是邊長為2的正三角形，
∴OC=
又PC=2，
∴PO2+CO2=PC2 ，
∴PO⊥OC，
又PO⊥AB，AB∩OC=O，
∴PO⊥平面ABC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴B，D到平面PAC的距離相等，設為h，
∵S△PAC= = ，S△ABC= ．
∴由VB﹣PAC=VP﹣ABC ， 可得 ，
∴h= ．
【解析】（Ⅰ）取AB的中點O，連接PO，CO，AC，由已知條件推導出PO⊥AB，CO⊥AB，從而AB⊥平面PCO，由此能證明AB⊥PC．（Ⅱ）由VB﹣PAC=VP﹣ABC ， 求點D到平面PAC的距離．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．