Question

16．已知函數(shù)f（x）=log₂（-x²-2x+8）．
（1）求f（x）的定義域和值域； 
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由-x²-2x+8＞0，能求出f（x）的定義域，設μ（x）=-x²-2x+8=-（x+1）²+9，由此能求出f（x）的值域．
（2）由y=log₂x是增函數(shù)，而μ（x）在[-1，2）上遞減，在（-4，-1]上遞增，能求出f（x） 的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂（-x²-2x+8），
∴-x²-2x+8＞0，解得-4＜x＜2，
∴f（x）的定義域為（-4，2）．（4分）
設μ（x）=-x²-2x+8=-（x+1）²+9，
∵-4＜x＜2，
∴μ（x）∈（0，9]，
∴f（x）的值域為（-∞，log₂9]．（8分）
（2）∵y=log₂x是增函數(shù)，而μ（x）在[-1，2）上遞減，在（-4，-1]上遞增，
∴f（x） 的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1，2），單調(diào)遞增區(qū)間為（-4，-1]．（12分）

點評 本題考查函數(shù)的定義域和值域的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．