Question

已知cos（x-

π

4

）=

2

10

，x∈（

π

2

，

3π

4

）．
（1）求sinx的值；
（2）求sin（2x+

π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用x的范圍確定x-

π

4

的范圍，進而利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（x-

π

4

）的值，進而根據(jù)sinx=sin[（x-

π

4

）+

π

4

]利用兩角和公式求得答案
（2）利用x的范圍和（1）中sinx的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosx的值，進而根據(jù)二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，
最后代入正弦的兩角和公式求得答案．

解答：解：（1）因為x∈（

π

2

，

3π

4

），
所以x-

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），
sin（x-

π

4

）=

1-cos2(x- π 4 )

=

7 2

10

．
sinx=sin[（x-

π

4

）+

π

4

]
=sin（x-

π

4

）cos

π

4

+cos（x-

π

4

）sin

π

4

=

7 2

10

×

2

2

+

2

10

×

2

2

=

4

5

．
（2）因為x∈（

π

2

，

3π

4

），
故cosx=-

1-sin2x

=-

1-( 4 5 )2

=-

3

5

．
sin2x=2sinxcosx=-

24

25

，
cos2x=2cos²x-1=-

7

25

．
所以sin（2x+

π

3

）=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

=-

24+7 3

50

．

點評：本題主要考查了兩角和公式的化簡求值和同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用．考查了學生基礎(chǔ)知識的掌握和基本運算能力．