Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），（a_n≠0），數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a_n和b_n；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，則a_n=2a_n-1，可知數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，求得a₁，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列{a_n}，將P（b_n，b_n+1）整理可得b_n+1-b_n=2，在數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，即可求得b_n；
（2）由c_n=a_n•b_n，利用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，…（2分）
由a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，則∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2，（n≥2，n∈{N^*}），即數(shù)列\(zhòng)left\{{a_n}\right\}是等比數(shù)列$．…（3分）
∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴${a_n}={2^n}…（4分）$，
∵點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₁=1，
∴b_n=2n-1…（6分）
（ II）∵${c_n}=（2n-1）{2^n}$…（7分）
$\begin{array}{l}∴{T_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_{n-1}}+{c_n}\\∴{T_n}=1×2+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（2n-3）{2^{n-1}}+（2n-1）{2^n}…（8分）\end{array}$，
∴$2{T_n}=1×{2^2}+3×{2^3}+…+（2n-3）{2^n}+（2n-1）{2^{n+1}}…（9分）$
因此：$-{T_n}=1×2+（2×{2^2}+2×{2^3}+…+2×{2^n}）-（2n-1）{2^{n+1}}$，…（10分）
即：∴$-{T_n}=2+\frac{{8（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}-（{2n-1}）{2^{n+1}}=-6-（{2n-3}）{2^{n+1}}…（11分）$，
∴${T_n}=（2n-3）{2^{n+1}}+6…（12分）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列及等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式，考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．