Question

17．已知{ a_n }是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（1）求數(shù)列{ a_n }的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}}{2}+\frac{_{2}}{{2}^{2}}+\frac{_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=a_n （n∈N^* ）  求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知列式求得等差數(shù)列的公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{ a_n }的通項(xiàng)公式；
（2）由$\frac{_{1}}{2}+\frac{_{2}}{{2}^{2}}+\frac{_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=a_n 求得b₁及b_n，可得數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n可求．

解答 解：（1）∵數(shù)列{ a_n }是等差數(shù)列，且a₂+a₇=16，
∴a₃+a₆=16，又∵a₃a₆=55，且數(shù)列{ a_n }的公差大于0，
∴a₃=5，a₆=11，則其公差d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}=\frac{11-5}{3}$=2，
∴a_n=a₃+（n-3）•2=5+2n-6=2n-1；
（2）由題意得b₁=2a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=（$\frac{_{1}}{2}+\frac{_{2}}{{2}^{2}}+\frac{_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$）-（$\frac{_{1}}{2}+\frac{_{2}}{{2}^{2}}+\frac{_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}}$）
=$\frac{_{n}}{{2}^{n}}=（2n-1）-[2（n-1）-1]=2$，
∴$_{n}={2}^{n+1}$，則$\frac{_{n+1}}{_{n}}=\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}}=2$．
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n+1}-2$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．