Question

10．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=0，a_n+1=$\frac{n}{{S}_{n+1}+{S}_{n}}$（n∈N⁺）．則a₃₃=（　�。�

• A． 4（4$\sqrt{2}$-$\sqrt{31}$）
• B． 4（4$\sqrt{2}$-$\sqrt{30}$）
• C． 4（$\sqrt{33}$-4$\sqrt{2}$）
• D． 4（$\sqrt{33}$-$\sqrt{31}$）

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{n}{{S}_{n+1}+{S}_{n}}$（n∈N⁺），可得${S}_{n+1}^{2}$-${S}_{n}^{2}$=n，利用“累加求和”方法、等差數列的求和公式及其遞推關系即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n}{{S}_{n+1}+{S}_{n}}$（n∈N⁺），a_n+1=S_n+1-S_n，∴${S}_{n+1}^{2}$-${S}_{n}^{2}$=n，
∴${S}_{n}^{2}$=$（{S}_{n}^{2}$-${S}_{n-1}^{2}）$+$（{S}_{n-1}^{2}-{S}_{n-2}^{2}）$+…+$（{S}_{2}^{2}-{S}_{1}^{2}）$+${S}_{1}^{2}$=（n-1）+（n-2）+…+1+0=$\frac{n（n-1）}{2}$．
∴S_n=$\sqrt{\frac{n（n-1）}{2}}$，
∴a₃₃=S₃₃-S₃₂=$\sqrt{\frac{33×32}{2}}$-$\sqrt{\frac{32×31}{2}}$=4$（\sqrt{33}-\sqrt{31}）$，
故選：D．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、“累加求和”方法、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．