Question

5．如圖，在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，其中AB∥CD，AB⊥AD，AB=AC=2CD=4，AA₁=3，過(guò)AC的平面分別與A₁B₁，B₁C₁交于E₁，F(xiàn)₁，且E₁為A₁B₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D；
（Ⅱ） 求二面角A₁-AC-E₁的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 連接C₁E₁，推導(dǎo)出四邊形A₁D₁C₁E₁是平行四邊形，從而四邊形ADC₁E₁是平行四邊形，由此能證明平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D．
（Ⅱ） 法一：分別以$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D{D_1}}$的方向?yàn)閤，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能求出二面角A₁-AC-E₁的大�。�
法二：取分別AC，A₁C₁的中點(diǎn)O，O₁，連結(jié)OO₁，OB，O₁B₁，O₁B₁與E₁F₁相交于G₁，連結(jié)OG₁，推導(dǎo)出∠O₁OG₁是二面角A₁-AC-E₁的平面角，由此能求出二面角A₁-AC-E₁的大�。�

解答 證明：（Ⅰ） 連接C₁E₁，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=2D₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
又E₁為A₁B₁的中點(diǎn)，則A₁E₁$\underline{\underline{∥}}$D₁C₁，
所以四邊形A₁D₁C₁E₁是平行四邊形，則C₁E₁$\underline{\underline{∥}}$A₁D₁．
又A₁D₁$\underline{\underline{∥}}$AD，所以C₁E₁$\underline{\underline{∥}}$AD．
所以四邊形ADC₁E₁是平行四邊形，則AE₁∥DC₁．
在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC∥A₁C₁．
由于AE₁，AC都在面ACF₁E₁內(nèi)且相交，DC₁與A₁C₁都在面A₁C₁D內(nèi)且相交，
所以平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D．（6分）
（Ⅱ） 在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC∥平面A₁B₁C₁D₁，
平面AF₁與平面A₁B₁C₁D₁交線(xiàn)為E₁F₁，則AC∥E₁F₁，則A₁C₁∥E₁F₁．
又E₁為A₁B₁的中點(diǎn)，所以F₁為B₁C₁的中點(diǎn)．
方法一：如圖，分別以$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D{D_1}}$的方向?yàn)閤，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
A（$2\sqrt{3}$，0，0），C（0，2，0），A₁（$2\sqrt{3}$，0，3），E₁（$2\sqrt{3}$，2，3），
所以$\overrightarrow{AC}=（-2\sqrt{3}，\;\;2，\;\;0）$，$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，\;\;0，\;\;3）$，$\overrightarrow{A{E_1}}=（0，\;\;2，\;\;3）$．
設(shè)平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{3}{x_1}+2{y_1}=0\\ 3{z_1}=0\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
設(shè)平面ACF₁E₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{E}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{3}{x_2}+2{y_2}=0\\ 2{y_2}+3{z_2}=0\end{array}\right.$，取x₂=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，3，-2$）．
則由cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{3}+0}{\sqrt{1+3+0}•\sqrt{3+9+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=30°，故二面角A₁-AC-E₁的大小為30°．（12分）
方法二：取分別AC，A₁C₁的中點(diǎn)O，O₁，
連結(jié)OO₁，OB，O₁B₁，O₁B₁與E₁F₁相交于G₁，連結(jié)OG₁，如圖．
由（Ⅰ），△ABC為等邊三角形，則AC⊥OB，
在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
有OO₁⊥平面ABCD，所以AC⊥OO₁．
所以AC⊥平面OBB₁A₁．所以AC⊥OG₁．
故∠O₁OG₁是二面角A₁-AC-E₁的平面角．（9分）
由題OO₁=3，O₁G₁=$\frac{1}{2}{O_1}{G_1}=\sqrt{3}$，則$tan∠{O_1}O{G_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
所以∠O₁OG₁=30°，則二面角A₁-AC-E₁的大小為30°．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．