Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦點分別為N、M，點N到上準線的距離為4，且橢圓的離心率為

5

5

，若點P為一動點，滿足

MP

•

MN

=|

PN

|•|

MN

|，
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點N作直線l與曲線C交于點A、B，分別以A、B為切點作曲線C的切線，其交點為Q，求

NQ

•

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知

a2 c -c=4 c a = 5 5

，知c=1，由此能導出動點P的軌跡C的方程．
（2）由y=

1

4

x2，y′=

x

2

，知以A（x1，

x12

4

）、B（x2，

x22

4

）為切點的切線方程分別是y=

x1

2

x-

x12

4

與y=

x2

2

x-

x22

4

，解得Q（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入x²=4y得x²-4kx-4=0，再由根的判別式進行求解．

解答：解：（1）由題設(shè)知

a2 c -c=4 c a = 5 5

，∴c=1，
解得N（0，1），M（0，-1），設(shè)P（x，y），
則

MP

=(x，y+1)，

MN

=(0，2)，

PN

=(-x，1-y)，
∴2y+2=2

(1-y)2+x2

，∴x²=4y；
（2）y=

1

4

x2，y′=

x

2

，則以A（x1，

x12

4

）、B（x2，

x22

4

）為切點的切線方程分別是：
y=

x1

2

x-

x12

4

與y=

x2

2

x-

x22

4

，解得Q（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），設(shè)直線l的方程為y=kx+1，
（直線l與x²=2y有兩個交點知k肯定存在），代入x²=4y得x²-4kx-4=0，
x₁x₂=-4，∴Q(

x1+x2

2

，-1)，
∴

NQ

•

AB

=(

x1+x2

2

，-2)•（x₂-x₁，y₂-y₁）
=

x22-x12

2

-2(

x22

4

-

x12

4

)=0．

點評：本題考查動點P的軌跡C的方程和求

NQ

•

AB

的值．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．